Second-Order Self-Consistent-Field Density-Matrix Renormalization Group

We present a matrix-product state (MPS)-based quadratically convergent density-matrix renormalization group self-consistent-field (DMRG-SCF) approach. Following a proposal by Werner and Knowles (JCP 82, 5053, (1985)), our DMRG-SCF algorithm is based on a direct minimization of an energy expression which is correct to second-order with respect to changes in the molecular orbital basis. We exploit a simultaneous optimization of the MPS wave function and molecular orbitals in order to achieve quadratic convergence. In contrast to previously reported (augmented Hessian) Newton-Raphson and super-configuration-interaction algorithms for DMRG-SCF, energy convergence beyond a quadratic scaling is possible in our ansatz. Discarding the set of redundant active-active orbital rotations, the DMRG-SCF energy converges typically within two to four cycles of the self-consistent procedureComment: 40 pages, 5 figures, 3 table

Absorbing Cantor sets in dynamical systems: Fibonacci maps

In this paper we shall show that there exists a polynomial unimodal map f: [0,1] -> [0,1] which is 1) non-renormalizable(therefore for each x from a residual set, $\omega(x)$ is equal to an interval), 2) for which $\omega(c)$ is a Cantor set, and 3) for which $\omega(x)=\omega(c)$ for Lebesgue almost all x. So the topological and the metric attractor of such a map do not coincide. This gives the answer to a question posed by Milnor

Interpretable Machine Learning for Electro-encephalography

While behavioral, genetic and psychological markers can provide important information about brain health, research in that area over the last decades has much focused on imaging devices such as magnetic resonance tomography (MRI) to provide non-invasive information about cognitive processes. Unfortunately, MRI based approaches, able to capture the slow changes in blood oxygenation levels, cannot capture electrical brain activity which plays out on a time scale up to three orders of magnitude faster. Electroencephalography (EEG), which has been available in clinical settings for over 60 years, is able to measure brain activity based on rapidly changing electrical potentials measured non-invasively on the scalp. Compared to MRI based research into neurodegeneration, EEG based research has, over the last decade, received much less interest from the machine learning community. But generally, EEG in combination with sophisticated machine learning offers great potential such that neglecting this source of information, compared to MRI or genetics, is not warranted. In collaborating with clinical experts, the ability to link any results provided by machine learning to the existing body of research is especially important as it ultimately provides an intuitive or interpretable understanding. Here, interpretable means the possibility for medical experts to translate the insights provided by a statistical model into a working hypothesis relating to brain function. To this end, we propose in our first contribution a method allowing for ultra-sparse regression which is applied on EEG data in order to identify a small subset of important diagnostic markers highlighting the main differences between healthy brains and brains affected by Parkinson's disease. Our second contribution builds on the idea that in Parkinson's disease impaired functioning of the thalamus causes changes in the complexity of the EEG waveforms. The thalamus is a small region in the center of the brain affected early in the course of the disease. Furthermore, it is believed that the thalamus functions as a pacemaker - akin to a conductor of an orchestra - such that changes in complexity are expressed and quantifiable based on EEG. We use these changes in complexity to show their association with future cognitive decline. In our third contribution we propose an extension of archetypal analysis embedded into a deep neural network. This generative version of archetypal analysis allows to learn an appropriate representation where every sample of a data set can be decomposed into a weighted sum of extreme representatives, the so-called archetypes. This opens up an interesting possibility of interpreting a data set relative to its most extreme representatives. In contrast, clustering algorithms describe a data set relative to its most average representatives. For Parkinson's disease, we show based on deep archetypal analysis, that healthy brains produce archetypes which are different from those produced by brains affected by neurodegeneration

Molecular relaxation of partially deuterated polyisoprene model melts studied by rheology and 1H^1\text{H}/2H^2\text{H} time domain NMR

In der vorliegenden Arbeit werden die molekularen und mechanischen Relaxationsprozesse von Modell-Homopolymerschmelzen untersucht. Hierfür werden definierte Systeme mit unterschiedlichen Topologien und Molekulargewichtsverteilungen aus Polyisopren (PI) und Polystyrol (PS) synthetisiert. Diese Systeme umfassen lineares monodisperses PI, lineares bidisperses PI, definierte PI-Kämme, monodisperse PS-Ringe und definierte PS-Pom-poms. Insbesondere werden sequentiell Deuterium markiertes lineares PI und ein Deuterium markierter PI-Kamm untersucht. Die genannten Modellsysteme werden mit mehreren Techniken charakterisiert, um Relaxationsprozesse in den Polymerschmelzen zu untersuchen. Hierfür wurden oszillatorische Scherrheologie, Fourier Transformations (FT) oszillatorische Scherrheologie, Breitband-dielektrische-Spektroskopie (BDS) und Doppelquanten-Kernspinresonanzspektroskopie (NMR) (in der Zeitdomäne, time domain TD) eingesetzt. Bidispersen Homopolymerschmelzen werden mit oszillatorischer Scherrheologie und FT-oszillatorischer Scherrheologie charakterisiert. Weiterhin wird ein Modell zur Vorhersage der nichtlinearen Antwort von bidispersen Polymerschmelzen vorgestellt. Dafür wird der intrinsische Nichtlinearitätsparameter $^3Q_0(\omega)$ im medium amplitude oscillatory shear (MAOS)-Regime nach Fourier Transformation der Schubspannung betrachted. Ein kürzlich vorgeschlagenes semi-empirisches Modell, das die nichtlineare Masterkurve von $^3Q_0(\omega)$ für alle monodispersen Homopolymere vorhersagt und nur von der Anzahl der Verschlaufungen ($Z$) und der Deborah-Zahl ($De$) abhängt, wird erweitert, um die nichtlineare Antwort von bidispersen Polymerschmelzen vorherzusagen. Die terminalen Relaxationszeiten für jede Komponente der bidispersen Polymerschmelze werden durch Anpassung von $G^*(\omega)$ mit Hilfe des Rolie-Double-Poly (RDP)-Modells ermittelt. Die beiden Relaxationszeiten für die langkettigen und kurzkettigen Komponenten definieren die Debora-Zahl für die jeweiligen Komponenten in der bidispersen Polymerschmelze. Das vorgeschlagene Modell steht in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen der nichtlinearen Masterkurve $^3Q_0(\omega)$ von der synthetisierten bidispersen Polymerschmelzen. Das Modell wird darüber hinaus auf Kamm-Polymerschmelzen angewendet. Diese ersten Untersuchungen deuten auf die Anwendbarkeit des neu vorgeschlagenen Modells für bidisperse Schmelzen auf Kamm-Polymerschmelzen hin. Partiell Deuterium markierte Polyisopren-Modellsysteme unterschiedlicher Topologien (linear und Kamm) werden synthetisiert und mittels Doppelquanten-NMR charakterisiert. Da NMR kernspezifisch ist, wird in dieser Untersuchung die Dynamik der jeweils markierten Polymersegmente mittels $^1\text{H}$ und $^2\text{H}$-NMR untersucht. Die experimentellen Ergebnisse an sequentiell markierten linearen Polymeren stehen im Einklang mit dem tube-Modell. Die Doppelquanten(DQ)-NMR Untersuchung des Kammes an den$^1\text{H}$ und $^2\text{H}$ markierten Segmenten wird vorgestellt und mit der Relaxationszeit aus linearer Rheologie, FT-Rheologie und BDS verglichen. Für einen Polyisoprenkamm werden die Zeitskalen der beiden Normalmoden, die der Rückgrat- und der Seitenkettenrelaxation entsprechen, unter Verwendung von BDS erhalten. Die Relaxationszeiten stimmen mit denen aus FT-Rheologie und linearer Rheologie überein. Mit Hilfe einer sog. hyphenated Messmethode, die TD-NMR und Rheologie kombiniert (Rheo-NMR), wird die Polymerisationskinetik von Poly(acrylsäure)-Hydrogelen untersucht. Hierfür wird ein $T_1$-Filter eingesetzt, der die Bestimmung der aktuellen Polymerkonzentration ermöglicht. Dadurch kann der mechanische Schermodul $|G^*|$ mit der Polymerkonzentration $c$ korreliert werdem und ein universeller Zusammenhang in der Form $|G^*(c)|=|G^*_{\text{max}}|\cdot\left(c/c_\text{max}\right)^n$ mit einem Wert von $n$ im Bereich von 2 bis 2.5 gefunden werden